Question

已知函数f(x)=loga(

x2+1

+x)（其中a＞1）．
（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断

f(m)+f(n)

m+n

（其中m，n∈R且m+n≠0）的正负号，并说明理由；
（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）-G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断y=f（x）的反函数y=f^-1（x）与g（x）=a^x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）先研究函数的定义域，看定义域是否关于0对称，然后再研究解析式，比较f（-x）与f（x），看它们相等还是相反数，然后根据函数奇偶性定义判断出函数的奇偶性；（2）利用函数的奇偶性将

f(m)+f(n)

m+n

函数值的差经及对应自变量的差的形式，然后通过对函数的单调性的研究，得到本题结论；（3）利用两函数“分离”的定义，通过参变量分离、换元后，求出所得函数的最值，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵

x2+1

+x＞|x|+x≥0，
∴函数y=f（x）的定义域为实数集R；
又f(x)+f(-x)=loga(

x2+1

+x)+loga(

x2+1

-x)=loga(x2+1-x2)=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数y=f（x）是奇函数．

（2）∵a＞1，
∴f(x)=loga(

x2+1

+x)在[0，+∞）上递增，以下给出证明．
证明：任取0≤x₁＜x₂，
设u1=

x12+1

+x1，u2=

x22+1

+x2，
则u1-u2=

x12-x22

x12+1 + x22+1

+(x1-x2)
=(x1-x2)(

x1+x2

x12+1 + x22+1

+1)＜0，
∴0＜u₁＜u₂，即0＜

u1

u2

＜1，f(x1)-f(x2)=loga

u1

u2

＜0．
又f(x)=loga(

x2+1

+x)为奇函数，
∴f（-n）=-f（n）且f(x)=loga(

x2+1

+x)在（-∞，+∞）上递增．
∴m+n=m-（-n）与f（m）+f（n）=f（m）-f（-n）同号，
∴

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
∴当a＞1时，

f(m)+f(n)

m+n

＞0．

（3）∵f-1(x)=

1

2

ax-

1

2ax

，x∈R，
∴|

1

2

ax-

1

2ax

-ax|＞2在区间[1，2]上恒成立，
即

1

2

|ax+

1

ax

|＞2，
∴ax+

1

ax

＞4在区间[1，2]上恒成立，
令a^x=t
∵a＞1，a^x=t∈[a，a²]，t+

1

t

在t∈[a，a²]递增，
∴(t+

1

t

)min=a+

1

a

＞4，
解得a＞2+

3

；
∴a∈(2+

3

，+∞)．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断、函数单调性的应用、参变量分离求函数最值，本题综合性强，运算量较大，属于中档题．