Question

【题目】已知正整数数列满足：，，（）.

（1）已知，，试求、的值；

（2）若，求证：；

（3）求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）根据递推式赋值逆推，分别求出即可求出的值；

（2）根据递推式赋值求出的值，即可找出数列的规律，由此得证；

（3）依据，讨论与的大小关系即可得出．

（1）令得，，解得；

令得，，解得；

令得，，解得；

令得，，解得；

所以．

（2）证明：令得，，因为数列各项为正整数，

2019的正整数约数有1，3，673，2019，因此的值可能为3，673，2019，即

或或.

当时，，，所以不符题意，应舍去；

当时，，，所以不符题意，应舍去；

当时，，，

，，……

所以，当为奇数时，；当为偶数时，；

故，不等式成立．

（3）由（1）（2）可知，当或可以满足题意，所以

或．

．

①当时，奇数项都相等，偶数项都相等且，即有，因为数列各项为正整数，且，所以或或或

此时或；

②当时，奇数项递增，偶数项递增，而 ，随着 的增大，存在时，，这样与条件矛盾，故不成立；

③当时，奇数项递减，偶数项递减，而 ，随着 的增大，存在时，，这样与条件矛盾，故不成立；

综上，或，即．