Question

已知函数f(x)=(t∈R)在［1,2］上的最小值为,P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)是函数f(x)=图象上不同两点,且线段P₁P₂的中点P的横坐标为.

(1)求t的值;

(2)求证:点P的纵坐标是定值;

(3)若数列{a_n}的通项公式为a_n=f()(m∈N^*,n=1,2,…,m),求数列{a_n}的前m项和S_m.

Answer 1

(1)解:当t＞0时,f(x)在［1,2］上单调递减,又f(x)的最小值为,∴f(2)=,得t=1.

当t＜0时,f(x)在［1,2］上单调递增,又f(x)的最小值为,∴f(1)=,得t=2(舍去);

当t=0时,f(x)=(舍去),∴t=1,f(x)=.

(2)证明:∵x_P=,∴x₁+x₂=1.

而y₁+y₂=+==

==.∴y₁+y₂=，即P点的纵坐标为定值.

(3)解:由(2)可知,f(x)+f(1-x)=,∴f()+f(1)=(1≤n≤m-1),即f()+f()=,

∴a_n+a_m-n=.而a_m=f(1)=,

由S_m=a₁+a₂+a₃+…+a_m-1+a_m,①得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3+…+a₁+a_m,②

由①+②,得2S_m=(m-1)×+2a_m=+2×=.∴S_m=(3m-1)(m∈N^*).