【题目】已知函数.
(1)若,求函数
的极值和单调区间;
(2)若在区间上至少存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)时,
有极小值为
.
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(2).
【解析】试题分析:(1)求函数的导数,令导数等于零,解方程,再求出函数
的导数和驻点,然后列表讨论,求函数
的单调区间和极值;(2)若在区间
上存在一点
,使得
成立,其充要条件是
在区间
上的最小值小于
即可.利用导数研究函数在闭区间
上的最小值,先求出导函数
,然后讨论研究函数在
上的单调性,将
的各极值与其端点的函数值比较,其中最小的一个就是最小值.
试题解析:(1)当,
,
令,得
,
又的定义域为
,由
得
,由
,得
,
所以时,
有极小值为
,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2),且
,令
,得到
.若在区间
上存在一点
,使得
成立,即
在区间
上的最小值小于
.
当,即
时,
恒成立,即
在区间
上单调递减,
故在区间
上的最小值为
.
由,得
,即
.
当,即
时,
①若,则
对
成立,所以
在区间
上单调递减,
则在区间
上的最小值为
.
显然, 在区间
上的最小值小于
不成立.
②若,即
时,则有
所以在区间
上的最小值为
,
由,得
,解得
,即
,
综上,由①②可知:
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【题目】某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团,若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加,则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为( )
A. 3600 B. 1080 C. 1440 D. 2520
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【题目】《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税,超过3500元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算:
全月应纳税所得额 | 税率(%) |
不超过1500元的部分 | 3 |
超过1500元至4500元的部分 | 10 |
超过4500元至9000元的部分 | 20 |
(1)某人10月份应交此项税款为350元,则他10月份的工资收入是多少?
(2)假设某人的月收入为元,
,记他应纳税为
元,求
的函数解析式.
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【题目】(本小题12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的5项预赛成绩记录如下:
甲 | 82 | 82 | 79 | 95 | 87 |
乙 | 95 | 75 | 80 | 90 | 85 |
(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.
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【题目】甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:
甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为,边界忽略不计)即为中奖·
乙商场:从装有2个白球、2个蓝球和2个红球的盒子中一次性摸出1球(这些球除颜色外完全相同),它是红球的概率是,若从盒子中一次性摸出2球,且摸到的是2个相同颜色的球,即为中奖.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.
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【题目】甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程关于时间
的函数关系式分别为
,
,
,
,有以下结论:
①当时,甲走在最前面;
②当时,乙走在最前面;
③当时,丁走在最前面,当
时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为 (把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分).
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