【题目】己知两点,,动点P在y轴上的摄影是H,且,
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设直线,的两个斜率存在,分别记为,,若,求点P的坐标;
(3)若经过点的直线l与动点P的轨迹有两个交点为T、Q,当时,求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)点或P或或
(3)
【解析】
(1)设,则,表示出,,的坐标,代入后化简,即可求出所求;
(2)由(1)可知点坐标设为,由两点间的斜率公式求得,,并代入化简,再与(1)所得的轨迹方程联立,即可求解出点坐标;
(3)设出,,再设出直线的方程的点斜式,让其与动点的轨迹方程联立化简得一个含斜率的一元二次方程,由韦达定理写出根与系数的关系,结合两点间的距离公式化简,进而求出直线的斜率,得到直线的方程.
(1)设,则,又,,
∵,∴所以动点P的轨迹方程为
(2)由题意得:,,所以,即
又由(1)可得,所以解得,
即点或P或或
(3)设直线方程,联立方程组
计算恒成立
设,,所以,
所以
即,解得
直线l的方程为
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【题目】
对于各项均为整数的数列,如果(=1,2,3,…)为完全平方数,则称数
列具有“性质”.
不论数列是否具有“性质”,如果存在与不是同一数列的,且同
时满足下面两个条件:①是的一个排列;②数列具有“性质”,则称数列具有“变换性质”.
(I)设数列的前项和,证明数列具有“性质”;
(II)试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,…,11是否具有“变换性质”,具有此性质的数列请写出相应的数列,不具此性质的说明理由;
(III)对于有限项数列:1,2,3,…,,某人已经验证当时,
数列具有“变换性质”,试证明:当”时,数列也具有“变换性质”.
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【题目】已知椭圆 : ( )的离心率 ,直线 被以椭圆 的短轴为直径的圆截得的弦长为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)过点 的直线 交椭圆于 , 两个不同的点,且 ,求 的取值范围.
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【题目】椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为,离心率为,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点M(0,-1),直线l经过点N(2,1)且与椭圆C相交于A,B两点(异于点M),记直线MA的斜率为,直线MB的斜率为,证明 为定值,并求出该定值.
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【题目】设是不小于3的正整数,集合,对于集合中任意两个元素,.
定义1:.
定义2:若,则称,互为相反元素,记作,或.
(Ⅰ)若,,,试写出,,以及的值;
(Ⅱ)若,证明:;
(Ⅲ)设是小于的正奇数,至少含有两个元素的集合,且对于集合中任意两个不相同的元素,,都有,试求集合中元素个数的所有可能值.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数, ),以为极点, 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线交于两点,且,求实数的值.
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【题目】已知函数f(x)=ex+1-alnax+a(a>0).
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若关于x的不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
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