Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{b}$=（2，k，3），$\overrightarrow{c}$=（1，-1，2），若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$三个向量共面，则实数k的值为（　　）

• A． -$\frac{8}{5}$
• B． -$\frac{1}{5}$
• C． 1
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 利用空间向量共面的充要条件：设实数x，y，使$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{c}$，列出方程组，即可求出k的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{b}$=（2，k，3），$\overrightarrow{c}$=（1，-1，2），
且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$三个向量共面，
∴存在唯一的实数对（x，y），
使$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{c}$；
即（2，k，3）=x（-2，0，1）+y（1，-1，2）=（-2x+y，-y，x+2y）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+y=2}\\{-y=k}\\{x+2y=3}\end{array}\right.$，
解得x=-$\frac{1}{5}$，y=$\frac{8}{5}$，k=-$\frac{8}{5}$；
∴实数k的值为-$\frac{8}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了空间向量共面的基本定理的应用问题，是基础题目．