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    求证：正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．

    证明：因为ABCD是正四面体，
    各个面都是等边三角形，
    取BC的中点E
    ∴AE⊥BC，DE⊥BC
    ∴BC⊥平面AED，
    而AD?平面AED，
    ∴BC⊥AD，
    同理可证AB⊥DC，AC⊥DB．
    分析：因为ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，取BC的中点E，则有AE⊥BC，DE⊥BC，从而有BC⊥平面AED，易得结论．
    点评：本题主要考查正四面体的结构特征，主要涉及了线线垂直，线面垂直的转化，属中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，求证：
    （1）BC∥平面PDF；   （2）BC⊥平面PAE．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图是各棱长均为a的斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠A1AC=∠A1AB=60°．求证：三棱锥A1-ABC是正四面体．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
    （1）求证：AD⊥BC；
    （2）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
    （3）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．

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    科目：高中数学 来源：2014届广东实验中学高二上学期期中理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分14分）

    如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

    （1）求证：P-ABC为正四面体；

    （2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。

    （3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源：湖南省长沙市2009-2010学年度高一第二次单元考试 题型：选择题

    （（8分）在正四面体P—ABC中,D,E,F分别是AB 、BC、 CA的中点,求证:

    （１）BC∥平面PDF;   （２）BC⊥平面PAE

     

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