Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．
（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证面MAP⊥面SAC，根据面面垂直的判定定理可知在平面MAP内一直线与平面SAC垂直，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面SAC，
而PM∥BC，从而PM⊥面SAC，满足定理所需条件；
（2）易证面MAP⊥面SAC，则AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M-AC-B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，在△CAN中，由勾股定理求得AN，在Rt△AMN中求出MN，在Rt△CNM中，求出此角即可．

解答：证明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中点
∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，（5分）
（2）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC．（3分）
∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M-AC-B的平面角，
∵直线AM与直线PC所成的角为60°
∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，
则∠AMN=60°在△CAN中，由勾股定理得AN=

2

．
在Rt△AMN中，AM=

AN

tan∠AMN

=

2

•

3

3

=

6

3

．
在Rt△CNM中，tan∠MCN=

MN

CN

=

MN

CN

=

6 3

1

=

6

3

故二面角M-AC-B的正切值为

6

3

．（5分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．