【题目】已知可以表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若不等式对于恒成立,则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
试题依题意,g(x)+h(x)=.....(1),∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x);∵h(x)是偶函数,∴h(-x)=h(x);
∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)="......(2)
解(1)和(2)组成的方程组得h(x)=,g(x)=
∴ag(x)+h(2x)=a+,∴a·+≥0在x∈[1,2]恒成立
令t=,∴=,当x∈[1,2]时,t∈[2,4],
∴原不等式化为a(t-)+(t2+)≥0在t∈[2,4]上恒成立,由不等式a(t-)+(t2+)≥0,
可得a(t-)≥-(t2+),∵当t∈[2,4]时,t-t>0恒成立,∴a≥==,即a≥在t∈[2,4]上恒成立,
令u=t-,求导得=1+>0恒成立,∴u=t-在t∈[2,4]上单调递增
∴u∈[],令f(u)=u+,u∈[],
求导得(u)=1->0在u∈[]上恒成立,∴f(u)在u∈[]上单调递增
即当u=,f(u)取最小值f()=,
当u=时,可解得t=2(另一根不在t∈[2,4]内故舍去)
∴当t=2时,取最小值为,即取最大值为-,∴a≥-,当t=2,x=1时取等号,∴a的最小值为-.
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【题目】如图,在空间直角坐标系中,已知正四棱锥的高,点和分别在轴和轴上,且,点是棱的中点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据,其线性回归方程是,且,则实数的值是
B.正态分布在区间和上取值的概率相等
C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于1
D.若一组数据的平均数是2,则这组数据的众数和中位数都是2
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【题目】已知直线l的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;
Ⅱ若直线与曲线C交于点不同于原点,与直线l交于点B,求的值.
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【题目】在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为(为参数),,为过点的两条直线,交于,两点,交于,两点,且的倾斜角为,.
(1)求和的极坐标方程;
(2)当时,求点到,,,四点的距离之和的最大值.
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【题目】对于任意的复数,定义运算为.
(1)设集合{均为整数},用列举法写出集合;
(2)若,为纯虚数,求的最小值;
(3)问:直线上是否存在横坐标、纵坐标都为整数的点,使该点对应的复数经运算后,对应的点也在直线上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由.
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