Question

已知抛物线C：y=2x²上的点A（-1，2），直线l₁过点A且与抛物线相切．直线l₂：x=a（a＞-1）交抛物线于点B，交直线l₁于点D，记△ABD的面积为S₁，抛物线和直线l₁，l₂所围成的图形面积为S₂，则S₁：S₂=（　　）

A．2：1

B．3：2

C．4：3

D．随a的值而变化

Answer 1

分析：先由y=2x²，得y′=4x．当x=-1时，y'=-4．由此能求出l₁的方程．由

y=2x2 x=a

得：B点坐标为（a，2a²）．由

x=a 4x+y+12=0

得D点坐标（a，-4a-2）．点A到直线BD的距离为|a+1|．由此能求出S₁的值．当a＞-1时，S₁=（a+1）³，S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx=

2

3

（a+1）³．可知S₁：S₂的值为与a无关的常数

3

2

．

解答：解：由y=2x²，得y′=4x．当x=-1时，y'=-4．（2分）
∴l₁的方程为y-2=-4（x+1），即y=-4x-2．（3分）
由

y=2x2 x=a

得：B点坐标为（a，2a²）．（4分）
由

x=a 4x+y+12=0

得D点坐标（a，-4a-2）．（5分）
∴点A到直线BD的距离为|a+1|．（6分）
|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²
∴S₁=|a+1|³．（7分）
当a＞-1时，S₁=（a+1）³，（8分）
S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx
=（

2

3

x³+2x²+2x）

|

a -1

=

2

3

（a+1）³．（9分）
∴S₁：S₂=

3

2

．（11分）
故选B．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意双曲线的性质、导数、定积分的灵活运用，合理地进行等价转化．