Question

今有一小船位于d=60 m宽的河边P处,从这里起,在下游l=80 m的L处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布.若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行),水速大小为5 m/s,如图所示,为了使小船能安全渡河,船的划速不能小于多少?当划速最小时,划速方向如何?

Answer 1

解法一:设船的划速为v_划,方向与上游河岸的夹角为α,如下图所示,将v_划正交分解为v₁,v₂,则

v₁=v_划cosα,v₂=v_划sinα.

船同时参与两个分运动:一个是沿v₂方向的速度为v₂的匀速直线运动,另一个是沿v_水方向的速度为(v_水-v₁)的匀速直线运动,这两个分运动的时间t₁和t₂必相等.设船到达对岸时,极其靠近河流与瀑布的交界处.

由t₁=,t₂=,

可得=,

即=,注意到d=60 m,l=80 m,v_水=5 m/s,

有=,

∴v_划=.

令y=3cosα+4sinα=5()

=5sin(α+β),其中tanβ=,β≈37°.

显见,当sin(α+β)=1时,y_max=5,v_划有最小值为3 m/s.

此时α=90°-37°=53°.

解法二:在题设条件下,船的临界合速度沿下图中的PQ方向,设PA=v_水,从A向PQ作垂线,垂足为B,有向AB即表示最小划速的大小和方向,v_划最小=v_水sinθ,

而sinθ==

==0.6(θ=37°),

故(v_划)_min=5×0.6=3(m/s),划速方向与解法一相同.