【题目】在直角坐标系xOy中,以M(﹣1,0)为圆心的圆与直线 相切.
(1)求圆M的方程;
(2)过点(0,3)的直线l被圆M截得的弦长为 ,求直线l的方程.
(3)已知A(﹣2,0),B(2,0),圆M内的动点P满足|PA||PB|=|PO|2 , 求 的取值范围.
【答案】
(1)解:依题意,圆M的半径r等于圆心M(﹣1,0)到直线 的距离,
即 ,∴圆M的方程为(x+1)2+y2=4
(2)解:当斜率存在时,设直线方程l:y=kx+3,则圆心到直线的距离 ,
∴ ,直线方程l:4x﹣3y+9=0
当直线斜率不存在时,则l:x=0,经检验满足条件
综上,直线方程l:4x﹣3y+9=0或x=0
(3)解:设P(x,y),由|PA||PB|=|PO|2,
得 ,即x2﹣y2=2.
∴ .
∵点P在圆M内,∴(x+1)2+y2<4,∴0≤y2<4,∴﹣1≤y2﹣1<3.
∴ 的取值范围为[﹣2,6)
【解析】(1)由直线与圆相切,得到圆心到切线的距离d等于半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心M到已知直线的距离d,即为圆M的半径,写出圆M方程即可;(2)分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求直线l的方程;(3)设P(x,y),利用两点间的距离公式化简已知的等式,整理后得到x与y的关系式,再表示出两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则计算所求的式子,将表示出的关系式代入得到关于y的式子,由P在圆M内部,得到P与圆心M的距离小于半径列出不等式,即可求出所求式子的范围.
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【题目】已知函数 有一个零点为4,且满足.
(1)求实数和的值;
(2)试问:是否存在这样的定值,使得当变化时,曲线在点处的切线互相平行?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
(3)讨论函数在上的零点个数.
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【题目】在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
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【题目】给定椭圆C: =1(a>b>0).设t>0,过点T(0,t)斜率为k的 直线l与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)用a,b,k,t表示△OMN的面积S,并说明k,t应满足的条件;
(Ⅱ)当k变化时,求S的最大值g(t).
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【题目】(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥,底面为菱形,,
, 平面, 分别是的中点。
(1)证明: ;
(2)若为上的动点,与平面所成最大角
的正切值为,求二面角的余弦值。
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