Question

【题目】已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an}的公差不为0．设Sn是数列{an}的前n项和．若a1 ， a2 ， a5是数列{bn}的前3项，且S4=16．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{ }为等差数列，求实数t；
（3）构造数列a1 ， b1 ， a2 ， b1 ， b2 ， a3 ， b1 ， b2 ， b3 ， …，ak ， b1 ， b2 ， …，bk ， …，若该数列前n项和Tn=1821，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设{an}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4=16．

∴ ，即 ，4a1+ =16，

解得a1=1，d=2，

∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．

∴b1=1，b2=3，公比q=3．

∴bn=3n﹣1．

（2）解：Sn= =n2．∴ = ．

∵数列{ }为等差数列，

∴ = + ，t2﹣2t=0．

解得t=2或0，经过验证满足题意．

（3）解：由（1）可得：Sn=n2，数列{bn}的前n项和An= = ．数列{An}的前n项和Un= ﹣ n= ﹣ n．

数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，

∴该数列前k+ = 项和=k2+ ﹣ （k﹣1），

∵37=2187，38=6561．

∴取k=8，可得前 =36项的和为： =1700，

令Tn=1821=1700+ ，解得m=5．

∴n=36+5=41．

【解析】（1）设{an}的公差d≠0．由a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4=16．可得 ，即 ，4a1+ =16，解得a1，d，即可得出．（2）Sn= =n2．可得 = ．根据数列{ }为等差数列，可得 = + ，t2﹣2t=0．

解得t．（3）由（1）可得：Sn=n2，数列{bn}的前n项和An= = ．数列{An}的前n项和Un= ﹣ n= ﹣ n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，可得：该数列前k+ = 项和=k2+ ﹣ （k﹣1），根据37=2187，38=6561．进而得出．