Question

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

若椭圆过点(－3，2)，离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为(x－8)²＋(y－6)²＝4，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；

(Ⅲ)求的最大值与最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由题意得： 　　所以椭圆的方程为 　　(Ⅱ)由题可知当直线PA过圆M的圆心(8，6)时，弦PQ最大 　　因为直线PA的斜率一定存在， 　　设直线PA的方程为：y－6＝k(x－8) 　　又因为PA与圆O相切，所以圆心(0，0)到直线PA的距离为 　　即　可得 　　所以直线PA的方程为：x－3y＋10＝0或13x－9y－50＝0 　　(Ⅲ)设∠AOP＝α　则∠AOP＝∠BOP，∠AOB＝2α 　　则 　　∵|OP|max＝10＋2＝12，||OP|min＝10－2＝8