分析 变形,利用基本不等式,分别进行判断,即可得出结论.
解答 解:①若a-2b+3c=0,则2b=a+3c≥2$\sqrt{3ac}$,∴b2≥3ac,∴$\frac{{b}^{2}}{ac}$≥3,∴$\frac{{b}^{2}}{ac}$的最小值是3,正确;
②设t=a+2b,则t>0,由a+2b+2ab=8得2ab=8-(a+2b)≤$(\frac{a+2b}{2})^{2}$,即8-t≤$\frac{{t}^{2}}{4}$,整理得t2+4t-32≥0,解得t≥4或t≤-8(舍去),即a+2b≥4,所以a+2b的最小值是4.正确;
③∵a,b,c>0,∴a+c>0,a+b>0,∵a(a+b+c)+bc=a(a+b)+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)=(a+c)(a+b)=4,∴2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2$\sqrt{(a+c)(a+b)}$=4,∴2a+b+c的最小值为4,不正确;
④若a2+b2+c2=4,则4=a2+$\frac{5}{7}$b2+$\frac{2}{7}$b2+c2≥2$\sqrt{\frac{5}{7}}$ab+2$\sqrt{\frac{2}{7}}$bc,∴$\sqrt{5}$ab+$\sqrt{2}$bc≤2$\sqrt{7}$,∴$\sqrt{5}$ab+$\sqrt{2}$bc的最大值是2$\sqrt{7}$,正确
综上所述,正确结论的序号是①②④.
故答案为:①②④.
点评 本题考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确运用基本不等式是关键.
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A. | $\frac{13}{65}$ | B. | $\frac{15}{65}$ | C. | $\frac{48}{65}$ | D. | $\frac{63}{65}$ |
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