Question

数列{a_n}是以a为首项，q为公比的等比数列．令b_n=1-a₁-a₂-…-a_n，c_n=2-b₁-b₂-…-b_n，n∈N^*．
（1）试用a、q表示b_n和c_n；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，试比较c_n与c_n+1的大小；
（3）是否存在实数对（a，q），其中q≠1，使{c_n}成等比数列．若存在，求出实数对（a，q）和{c_n}；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分两种情况考虑，当q=1时，得到数列{a_n}每一项都为a，代入b_n=1-a₁-a₂-…-a_n中，得到b_n，列举出b_n的各项，代入c_n=2-b₁-b₂-…-b_n中，利用等差数列的前n项和公式化简后，得到c_n；当q不等于1时，利用等比数列的前n项和公式表示出数列{a_n}的前n项和，代入b_n=1-a₁-a₂-…-a_n中，得到b_n，列举出b_n的各项，代入c_n=2-b₁-b₂-…-b_n中，利用等比数列的前n项和公式化简后，得到c_n，综上，分别写出b_n和c_n的通项即可；
（2）根据q不等于1，由（1）求出的通项找出c_n与c_n+1，利用做差法比较大小，方法是表示出c_n+1-c_n，化简后根据已知的条件，判断其差的正负，即可得到c_n与c_n+1的大小关系；
（3）存在．根据q不等于1和0，由（1）找出数列{c_n}的通项，因为{c_n}成等比数列，所以得到此数列为常数列或常数项和n项的系数为0，列出关于a与q的方程，求出方程的解即可得到a与q的值，经过检验得到满足题意的a与q的值．

解答：解：（1）当q=1时，b_n=1-（a₁+a₂+…+a_n）=1-na，cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-

[(1-a)+(1-na)]n

2

=

a

2

n2+(

a

2

-1)n+2，
当q≠1时，bn=1-(a1+a2+…+an)=1-

a(1-qn)

1-q

cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-(1-

a

1-q

)n-

a

1-q

(q+q2+…+qn)
=2-(1-

a

1-q

)n-

aq

(1-q)2

(1-qn)
=2-

aq

(1-q)2

-(1-

a

1-q

)n+

aq

(1-q)2

qn
所以bn=

1-na，q=1 1- a(1-qn) 1-q ，q≠1

，
c_n=

a 2 n2+( a 2 -1)n+2  q=1 2- aq (1-q)2 -(1- a 1-q )n+ aq (1-q)2 qn q≠1

；（4分）
（2）因为cn=2-

aq

(1-q)2

-(1-

a

1-q

)n+

aq

(1-q)2

qn，
所以cn+1=2-

aq

(1-q)2

-(1-

a

1-q

)(n+1)+

aq

(1-q)2

qn+1cn+1-cn=-(1-

a

1-q

)+

aq

(1-q)2

(qn+1-qn)=-1+

a

1-q

(1-qn+1)
当q＞1时，1-q＜0，1-qⁿ⁺¹＜0；
当0＜q＜1时，1-q＞0，1-qⁿ⁺¹＞0，
所以当a＜0，q＞0且q≠1时，c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n；（5分）
（3）因为q≠1，q≠0，
所以cn=2-

aq

(1-q)2

-(1-

a

1-q

)n+

aq

(1-q)2

qn，
因为{c_n}为等比数列，则

2- aq (1-q)2 =0 1- a 1-q =0

或

aq (1-q)2 =0 1- a 1-q =0

，
所以

a= 1 3 q= 2 3

或

a=1 q=0

（舍去），所以

a= 1 3 q= 2 3

．（5分）

点评：此题考查学生灵活运用等差、等比数列的前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，会利用做差法比较两式子的大小，是一道中档题．学生在利用等比数列的前n项和公式时注意公比q不为1．