Question

5．已知复数z₀满足|2z₀+15|=$\sqrt{3}$|$\overline{{z}_{0}}$+10|，
（1）求证：|z₀|为定值；
（2）设x=$\frac{1+i}{2}$，z_n=z₀xⁿ，若a_n=|z_n-z_n-1|，n∈N^*，求$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）．

Answer 1

分析 （1）设z₀=x+yi（x，y∈R），利用|2z₀+15|=$\sqrt{3}$|$\overline{{z}_{0}}$+10|，可得x²+y²=75，即可证明：|z₀|为定值；
（2）a_n=|z_n-z_n-1|=$5\sqrt{3}•（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$，再求极限．

解答 （1）证明：设z₀=x+yi（x，y∈R），则
∵|2z₀+15|=$\sqrt{3}$|$\overline{{z}_{0}}$+10|，
∴|2x+15+2yi|=$\sqrt{3}$|x+10-yi|，
∴（2x+15）²+（2y）²=3（x+10）²+3y²，
∴x²+y²=75，
∴|z₀|=5$\sqrt{3}$；
（2）解：∵x=$\frac{1+i}{2}$，z_n=z₀xⁿ，
∴a_n=|z_n-z_n-1|=$5\sqrt{3}•（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=5$\sqrt{3}$•$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=5$\sqrt{3}+5\sqrt{6}$．

点评 本题考查复数模的计算，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．