【题目】设函数,其图象在点处切线的斜率为-3.
(1)求与关系式;
(2)求函数的单调区间(用只含有的式子表示);
(3)当时,令,设是函数的两个零点, 是与的等差中项,求证: (为函数的导函数).
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【解析】试题分析:(1)由导数的几何意义得,即可得解;
(2)由(1)知, ,讨论, 和时导数的正负,从而得函数的单调性;
(3)根据条件得,两式作差得,从而得, ,构造函数求最值即可证得.
试题解析:
(1)函数的定义域为,
,由得, .
(2)由(1)知, ,
①当时, 在上单调递减;
②当时,令,得,
在上单调递减,在上单调递增;
③当时,若时, 在上单调递减;
若时, 在上单调递增,在上单调递减;
综上,当时, 的单调减区间为,单调增区间为,
当时, 的单调减区间为,
当时, 的单调增区间为,单调减区间为.
(3)当时, ,则, ,
∵与是函数的两个零点,∴,
两式相减得, ,
∵,∴ ,
∵,∴ ,
∴ ,
令,∵,∴ , ,
,
∴在单调递减,∴, ,∴ .
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【题目】下列关于回归分析的说法中错误的是( )
A. 回归直线一定过样本中心
B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适
C. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
D. 甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80,则模型乙的拟合效果更好
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【题目】已知椭圆C:的离心率为,点P(1,)在椭圆C上,直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在x轴上是否存在定点M,使得为定值?若存在,求定点M的坐标;若不在,请说明理由.
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【题目】从某保险公司的推销员中随机抽取50名,统计这些推销员某月的月销售额(单位:千元),由统计结果得如图频数分别表:
月销售额 分组 | [12.25,14.75) | [14.75,17.25) | [17.25,19.75) | [19.75,22.25) | [22.25,24.75) |
频数 | 4 | 10 | 24 | 8 | 4 |
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这些推销员的月销售额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,公司将推销员的月销售指标确定为17.875千元,试判断是否有60%的职工能够完成该销售指标.
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【题目】某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累积答对3题或打错3题即终止其初赛的比赛:答对3题者直接进入初赛,打错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个问题的概率相同,并且相互之间没有影响,答题连续两次答错的概率为.
(1)求选手甲可进入决赛的概率.
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为,试求的分布列,并求的数学期望.
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【题目】某位同学进行社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了12月11日至12月15日的白天平均气温 (℃)与该小卖部的这种饮料销量(杯),得到如下数据:
日期 | 12月11日 | 12月12日 | 12月13日 | 12月14日 | 12月15日 |
平均气温(℃) | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
销量(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)请根据所给五组数据,求出关于的线性回归方程;
(2)据(1)中所得的线性回归方程,若天气预报12月16日的白天平均气温7(℃),请预测该奶茶店这种饮料的销量. (参考公式:,)
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【题目】对在直角坐标系的第一象限内的任意两点,作如下定义:,那么称点是点的“上位点”,同时点是点的“下位点”.
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;
(2)设、、、均为正数,且点是点的上位点,请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”,如果是请证明,如果不是请说明理由;
(3)设正整数满足以下条件:对任意实数,总存在,使得点既是点的“下位点”,又是点的“上位点”,求正整数的最小值.
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【题目】
按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式;当时,求证:=;
(2)设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3)记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
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【题目】在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
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