Question

已知函数f（x）=a^x-xlna，（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）取a=e，若时，函数g（x）=f（x）-mx有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=a^x-xlna，
∴f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
令f′（x）=0，得x=0，
当a＜a＜1时，lna＜0，
若x＜0，则a^x-1＞0，∴f′（x）＜0；
若x＞0，则a^x-1＜0，∴f′（x）＞0；
当a＞1时，lna＞0，若x＜0，则a^x-1＜0，所以有f'（x）＜0；
若x＞0，则a^x-1＞0，所以有f'（x）＞0．
综上可知，函数f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）…（6分）
（Ⅱ）函数g（x）=f（x）-mx有两个不同的零点，即有两个不同的实根．
令，则．
所以当时，h'（x）＜0．当x∈（1，2]时，h'（x）＞0．
即函数h（x）在上为减函数，在（1，2]上为增函数．
所以h（x）_min=h（1）=e-1．
又．且
所以实数m的取值范围为：．…（12分）
分析：（I）先求函数的导函数f′（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间；
（II）由题意可得函数g（x）=f（x）-mx有两个不同的零点，即有两个不同的实根，令，利用导数研究其单调性，由此求得实数m的取值范围．
点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法，考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．