Question

14．在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． $\frac{41}{4}$
• B． -$\frac{41}{4}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． -$\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 利用向量加法、减法的三角形法则把$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{BD}$用向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}$表示，平方后作差得答案．

解答 解：∵${\overrightarrow{BD}}^{2}=（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）^{2}={\overrightarrow{AD}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$$-2\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$，
${\overrightarrow{AC}}^{2}=（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}）^{2}$=${\overrightarrow{AD}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$．
∴${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}=4\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}}{4}=\frac{9}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了向量加法、减法的三角形法则，是中档题．