Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁，a₃，a₁₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项a_n
（2）b_n=20-a_n，T_n前n项和，求T_n的最值．

Answer 1

分析：（1）先根据10S_n=a_n²+5a_n+6求出a₁的值，再结合10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6可得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0，进而得到a_n-a_n-1=5可求出a_n=5n-3．
（2）根据（1）中{a_n}的通项a_n可得到b_n=20-a_n=23-5n，再由等差数列的前n项和公式可得到T_n的表达式，进而求出T_n的最大值．

解答：解：（1）∵10S_n=a_n²+5a_n+6，①∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．
又10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），②
由①-②得 10a_n=（a_n²-a_n-1²）+5（a_n-a_n-1），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=5 （n≥2）．
当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73．a₁，a₃，a₁₅不成等比数列∴a₁≠3；
当a₁=2时，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅，∴a₁=2，∴a_n=5n-3．
（2）∵b_n=20-a_n=23-5n
所以T_n=

n(18+23-5n)

2

=

n(41-5n)

2

=

-5

2

(n-

41

10

) 2+

1681

20

当n=4时，T_n取得最大值42．

点评：本题主要考查求数列通项公式、等差数列的前n项和公式．考查综合运用能力．