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【题目】已知椭圆 ,圆 的圆心在椭圆上,点到椭圆的右焦点的距离为.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过点作互相垂直的两条直线,且交椭圆两点,直线交圆 两点,且的中点,求面积的取值范围.

【答案】(12

【解析】试题分析:(1)求椭圆标准方程,一般方法为待定系数法,只需列出两个独立条件,解方程组即可:一是圆心在椭圆上,即,二是根据两点间距离公式得,解得,(2)设直线,直线的方程为,根据几何条件得,所以的面积等于,先根据点到直线距离公式得,再联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理、弦长公式得,,最后根据分式函数值域求法得范围

试题解析:(1)圆的圆心为

代入椭圆方程可得

由点到椭圆的右焦点的距离为,即有

解得,即

解得

即有椭圆方程为

2)依题意知直线斜率必存在,当斜率为0时,直线

代入圆的方程可得,可得的坐标为,又

可得的面积为

当直线斜率不为0时设直线,代入圆的方程可得

可得中点

此时直线的方程为,代入椭圆方程,可得:

,可得

可得的面积为

),可得

可得,且

综上可得,的面积的取值范围是

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