【题目】已知椭圆: ,圆: 的圆心在椭圆上,点到椭圆的右焦点的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线,且交椭圆于两点,直线交圆于, 两点,且为的中点,求面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)求椭圆标准方程,一般方法为待定系数法,只需列出两个独立条件,解方程组即可:一是圆心在椭圆上,即,二是根据两点间距离公式得,解得, ,(2)设直线: ,直线的方程为,根据几何条件得,所以△的面积等于,先根据点到直线距离公式得,再联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理、弦长公式得,即,最后根据分式函数值域求法得范围
试题解析:(1)圆: 的圆心为,
代入椭圆方程可得,
由点到椭圆的右焦点的距离为,即有,
解得,即,
解得, ,
即有椭圆方程为.
(2)依题意知直线斜率必存在,当斜率为0时,直线: ,
代入圆的方程可得,可得的坐标为,又,
可得的面积为;
当直线斜率不为0时设直线: ,代入圆的方程可得
,
可得中点,
,
此时直线的方程为,代入椭圆方程,可得:
,
设, ,可得, ,
则,
可得的面积为,
设(),可得,
可得,且,
综上可得,△的面积的取值范围是.
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【题目】(本小题满分12分)已知数列和满足,若为等比数列,且,.
(1)求与;
(2)设(),记数列的前项和为,
(I)求;
(II)求正整数,使得对任意均有.
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【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵与刍童的组合体中,.台体体积公式:,其中分别为台体上、下底面面积,为台体高.
(Ⅰ)证明:直线 平面;
(Ⅱ)若,,,三棱锥的体积,求该组合体的体积.
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【题目】已知过原点的动直线与圆: 交于两点.
(1)若,求直线的方程;
(2)轴上是否存在定点,使得当变动时,总有直线的斜率之和为0?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知二次函数的对称轴为,.
(1)求函数的最小值及取得最小值时的值;
(2)试确定的取值范围,使至少有一个实根;
(3)若,存在实数,对任意,使恒成立,求实数的取
值范围.
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