Question

14．已知函数f（x）=log₂（2x）•log₂（4x），g（t）=$\frac{f（x）}{t}$-3，其中t=log₂x（4≤x≤8）．
（1）求f（$\sqrt{2}$）的值；
（2）求函数g（t）的解析式，判断g（t）的单调性并用单调性定义给予证明；
（3）若a≤g（t）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用代入法，结合对数运算法则，即可得到所求值；
（2）运用对数函数的单调性，可得t的范围，化简可得g（t）的解析式，且g（t）在[2，3]上递增，运用单调性的定义证明，注意取值，作差，变形，定符号和下结论等步骤；
（3）由题意可得a≤g（t）的最小值，由（2）的单调性，可得g（2）最小，可得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=log₂（2x）•log₂（4x），
可得f（$\sqrt{2}$）=log₂（2$\sqrt{2}$）•log₂（4$\sqrt{2}$）
=log₂2${\;}^{\frac{3}{2}}$•log₂2${\;}^{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{4}$；
（2）t=log₂x（4≤x≤8），
可得2≤t≤3，
g（t）=$\frac{f（x）}{t}$-3=$\frac{（1+lo{g}_{2}x）（2+lo{g}_{2}x）}{t}$-3
=$\frac{（1+t）（2+t）}{t}$-3=$\frac{{t}^{2}+2}{t}$
=t+$\frac{2}{t}$，（2≤t≤3）．
结论：g（t）在[2，3]上递增．
理由：设2≤t₁＜t₂≤3，
则g（t₁）-g（t₂）=t₁+$\frac{2}{{t}_{1}}$-（t₂+$\frac{2}{{t}_{2}}$）=（t₁-t₂）+$\frac{2（{t}_{2}-{t}_{1}）}{{t}_{1}{t}_{2}}$
=（t₁-t₂）•$\frac{{t}_{1}{t}_{2}-2}{{t}_{1}{t}_{2}}$，
由2≤t₁＜t₂≤3，可得t₁-t₂＜0，t₁t₂＞4＞2，
即有g（t₁）-g（t₂）＜0，
则g（t）在[2，3]上递增．
（3）a≤g（t）恒成立，
即为a≤g（t）的最小值．
由g（t）在[2，3]上递增，
可得g（2）取得最小值，且为3．
则实数a的取值范围为a≤3．

点评 本题考查函数的解析式的求法，以及单调性的判断和证明，注意运用定义法，同时考查恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．