Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+m（m∈R）$，且当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，再把所得的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换，得到f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，再由当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为2，求出$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+3$．由此能求出f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由函数y=f（x）伸缩变换、平移变换得到$g（x）=2sin（4x-\frac{π}{6}）+3$，由此能求出方程g（x）=4在区间[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+m（m∈R）$，
∴f（x）=$2co{s}^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+m$
=$cos2x+\sqrt{3}sin2x+m+1$
=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）+m+1$
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴$x=\frac{π}{2}$时，f（x）_min=2×$（-\frac{1}{2}）$+m+1=2，解得m=2，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+3$．
令2kπ-$\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得f（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）．
（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，
得到f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+3，
再把所得的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，
∴$g（x）=2sin（4x-\frac{π}{6}）+3$，
∵g（x）=4，∴$sin（4x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，解得4x-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{6}$或4x-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$或x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}$，k∈Z．
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴x=$\frac{π}{12}$或x=$\frac{π}{4}$，
故所有根之和为：$\frac{π}{12}+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查三角函数的增区间的求法，考查三角方程所有根之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换、伸缩变换、平移变换的合理运用．