Question

16、设a为非零实数，则关于函数f（x）=x²+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（　　）

A、函数f（x）一定是个偶函数

B、函数f（x）一定没有最大值

C、区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间

D、函数f（x）不可能有三个零点

Answer 1

分析：根据偶函数的定义，判断f（-x）=f（x）则函数为偶函数；根据函数图象开口向上，函数没有最大值；取特殊值法，然后结合函数图象，判定单调递增区间；把函数转化成方程解的问题解答即可．

解答：解：（1）∵-x∈R
∴f（-x）=（-x）²+a|-x|+1=x²+a|x|+1=f（x）
∴函数f（x）一定是个偶函数．
（2）∵二次函数f（x）=x²+a|x|+1，开口向上，所以函数f（x）一定没有最大值．

（3）令a=-2，则f（x）=x²-2|x|+1画出如上图所示的函数图象，可知在区间[0，∞]不是f（x）的单调递增区间，所以C项错误．
（4）方程x²+ax+1=0，△=a²-4≥-4，此方称可能无解、一个解或者两个解，所以函数f（x）=x²+a|x|+1可能无零点、两个零点、或者四个零点．
故选C．

点评：本题考查了二次函数的奇偶性，通过图象观察最值以及单调性，数形结合有助于我们的解题，形象直观．