【题目】已知函数在处的切线斜率为2.
(Ⅰ)求的单调区间和极值;
(Ⅱ)若在上无解,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 单调递增区间为,单调递减区间为和 极小值为,极大值为 (Ⅱ)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)结合导函数的解析式有,则,由得或.结合导函数的符号研究函数的性质可得函数的单调递增区间为,单调递减区间为和.则函数的极小值为,极大值为;
(Ⅱ)构造新函数,令,由题意可得在上恒成立.其中,研究其分母部分,记,由题意可得.分类讨论:
若,则单调递减.∴恒成立.
若,则在上单调递增.而,故与已知矛盾,舍去.
综上可知, .
试题解析:
解:(Ⅰ)∵ , ,
∴.
∴, .
令,解得或.
当变化时, 的变化情况如下表:
∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为和.
∴函数的极小值为,极大值为;
(Ⅱ)令.
∵在上无解,
∴在上恒成立.
∵,记,
∵在上恒成立,
∴在上单调递减.
∴.
若,则, ,
∴.
∴单调递减.
∴恒成立.
若,则,存在,使得,
∴当时, ,即.
∴在上单调递增.
∵,
∴在上成立,与已知矛盾,故舍去.
综上可知, .
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【题目】在平面直角坐标系中, 为坐标原点, 、是双曲线上的两个动点,动点满足,直线与直线斜率之积为2,已知平面内存在两定点、,使得为定值,则该定值为________
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【题目】某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市名男生的身高服从正态分布.现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于和之间,将测量结果按如下方式分组: , ,…, ,得到的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;
(Ⅱ)求这名男生身高在以上(含)的人数;
(Ⅲ)在这名男生身高在以上(含)的人中任意抽取人,该人中身高排名(从高到低)在全市前名的人数记力,求的数学期望.
参考数据:若,则,
, .
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【题目】如图,椭圆: 的焦距与椭圆: 的短轴长相等,且与的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为,直线经过在轴正半轴上的顶点且与直线(为坐标原点)垂直, 与的另一个交点为, 与交于, 两点.
(1)求的标准方程;
(2)求.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为, 上的动点到两焦点的距离之和为4,当点运动到椭圆的上顶点时,直线恰与以原点为圆心,以椭圆的离心率为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为,若交直线于两点.问以为直径的圆是否过定点?若过定点,请求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
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