Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1 ， AC=BC=BB1 ， D为AB的中点，且CD⊥DA1 ．

（1）求证：BC1∥平面DCA1；
（2）求BC1与平面ABB1A1所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK．

在△ABC1中，D、K为中点，∴DK∥BC1

又DK平面DCA1，BC1平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1、

（2）证明：（方法一）如图二，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、

取A1B1的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB1、CC1平行且相等，

∴DCC1E是平行四边形，∴C1E、CD平行且相等．

又CD⊥平面ABB1A1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠EBC1即所求角、

由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．

设AC=BC=BB1=2，∴ ， ，∠EBC1=30°、

（方法二）如图三，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、

取DA1的中点F，则KF∥CD，∴KF⊥平面ABB1A1．

∴∠KDF即BC1与平面ABB1A1所成的角．

由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．

设AC=BC=BB1=2，∴ ， ，∴∠KDF=30°

【解析】（1）连接AC1与A1C交于点K，连接DK．根据三角形中位线定理，易得到DK∥BC1 ， 再由线面平行的判定定理得到BC1∥平面DCA1；（2）方法一：由AC=BC，D为AB的中点，取A1B1的中点E，又D为AB的中点，得到DCC1E是平行四边形，则∠EBC1即为BC1与平面ABB1A1所成角的二面角，解三角形即可求出答案．方法二：由AC=BC，D为AB的中点，取DA1的中点F，则∠KDF即BC1与平面ABB1A1所成的角．解三角形即可求出答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．