Question

已知函数f（x）=a^x-2

4-ax

-1（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域、值域；
（2）求实数a的取值范围，使得函数f（x）满足：当定义域为[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由根式内部的代数式大于等于0得a^x≤4．然后分a＞1，0＜a＜1求得函数的定义域．令t=

4-ax

换元，配方后利用函数的单调性求函数f（x）的值域；
（2）结合（1）中的函数定义域可得0＜a＜1时，函数的定义域为[log_a4，+∞）．然后把使定义域为[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，转化为

loga4≤1① ax-1≥2 4-ax ②

，分析可知f（x）≥0恒成立的实数a的值不存在．

解答： 解：（1）由4-a^x≥0，得a^x≤4．
当a＞1时，x≤log_a4；当0＜a＜1时，x≥log_a4．
即当a＞1时，f（x）的定义域为（-∞，log_a4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[log_a4，+∞）．
令t=

4-ax

，则0≤t＜2，且a^x=4-t²，
∴f（x）=g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
当t≥0时，g（x）是t的单调减函数，
∴g（2）＜g（t）≤g（0），即-5＜f（x）≤3，
∴函数f（x）的值域是（-5，3]；
（2）当a＞1时，f（x）的定义域为（-∞，log_a4]，不满足题意；
当0＜a＜1时，函数的定义域为[log_a4，+∞）．
要使定义域为[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，
则

loga4≤1① ax-1≥2 4-ax ②

，
由①得：a≤4，又0＜a＜1，∴0＜a＜1；
由②得：a^x≥3．此式对于任意0＜a＜1不满足在[1，+∞）上恒成立．
综上，当定义域为[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立的实数a的值不存在．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，训练了利用换元法求函数的值域，对于（2）的解答，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．