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设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;

(2)设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.

思路分析:向量与解析几何的综合,主要是通过向量的坐标形式来体现的,在解题过程中,注意将这两者进行灵活转换,从而找到最佳解题途径.

解:(1)由C与l相交于两个不同的点,知方程组有两组不同的实数解,消去y2并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.                                                 ①

解得0<a<且a≠1.双曲线的离心率e=,

∵0<a<且a≠1,∴e>且e≠,即离心率e的取值范围为(, )∪(,+∞).

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),∵=,∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1).

由此得x1=x2,由于x1、x2都是方程①的根,且1-a2≠0,所以x1+x2=x2=-,x1x2=x22=-.

消去x2,得-=由a>0,所以a=.

温馨提示

    在解答直线与圆锥曲线问题时,首先应判断斜率不存在时,是否满足题意,然后再设直线方程.据条件合理利用“判别式”确定某些字母的取值范围,注意它和函数、不等式的综合应用以及向量的具体应用.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设双曲线C:-y2=1的右焦点为F,直线l过点F.若直线l与双曲线C的左、右两支都相交,则直线l的斜率k的取值范围是

A.k≤或k≥                              B.k<或k>

C.<k<                                  D.≤k≤

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A.k≤-或k≥                       B.k<-或k>

C.-<k<                             D.-≤k≤

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