Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为棱BB₁，DD₁和CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：C₁F∥平面DEG；
（Ⅱ）求三棱锥D₁-A₁AE的体积；
（Ⅲ）试在棱CD上求一点M，使D₁M⊥平面DEG．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 证明四边形DGC₁F是平行四边形，可得C₁F∥DG，从而证明C₁F∥平面DEG．
（Ⅱ） 利用A₁D₁ 是三棱锥D₁-A₁AE的高，等于1，由V_D1-A1AE=

1

3

•S△A1AE•D1A1求得结果．
（Ⅲ）当点M是CD的中点时，有使D₁M⊥平面DEG．由BC⊥面CDD₁C₁，可得BC⊥D₁M．又 BC∥EG，得到 D₁M⊥EG，再由D₁M⊥DG 可得D₁M⊥平面DEG．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为棱BB₁，DD₁和CC₁的中点．
∴DF∥C₁C，且 DF=C₁C，∴四边形DGC₁F是平行四边形，∴C₁F∥DG．
∵DG?平面DEG，C₁F 不在平面DEG 内，∴C₁F∥平面DEG．
（Ⅱ）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有 A₁D₁⊥面AA₁E，故 A₁D₁ 是三棱锥D₁-A₁AE的高，等于1．
V_D1-A1AE=

1

3

•S△A1AE•D1A1=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．
（Ⅲ）当点M是CD的中点时，有使D₁M⊥平面DEG．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥面CDD₁C₁，
∵D₁M?面CDD₁C₁，∴BC⊥D₁M．又 BC∥EG，∴D₁M⊥EG．
再由D₁M⊥DG 可得，D₁M垂直于平面DEG内的两条相交直线EG和DG，
故D₁M⊥平面DEG．

点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，证明D₁M⊥平面DEG  是解题的难点．