Question

如图，在棱长都等于1的三棱锥A-BCD中，F是AC上的一点，过F作平行于棱AB和棱CD的截面，分别交BC，AD，BD于E，G，H．
（1）证明截面EFGH是矩形；
（2）F在AC的什么位置时，截面面积最大，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据面面平行的性质定理，可得AB∥EF，AB∥GH，进而EF∥GH，同理EH∥CD∥FG，则可得四边形EFGH是平行四边形，结合四棱锥的几何特征，证得EF⊥CD后，可得截面EFGH是矩形；
（2）设FG=x，x∈（0，1），可得四边形面积的解析式：S_EFGH=EF•FG=x（1-x），进而根据二次函数的图象和性质，可得答案．
解答：证明：（1）∵AB∥平面EFGH，
平面ABC∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF
同理AB∥GH
∴EF∥GH
同理EH∥CD∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形
取CD中点S，连接AS，BS
∵AC=AD，S是CD中点
∴AS⊥CD
同理 BS⊥CD
又∵AS∩BS=S
∴CD⊥平面ABS
∴CD⊥AB
又∵AB∥EF，FG∥CD
∴EF⊥CD
即 四边形EFGH是矩形
解：（2）设FG=x，x∈（0，1）
由（1）知==，
又CD=AB=1
∴EF=1-x
则S_EFGH=EF•FG=x（1-x）
=-（x-）²+
∴当x=时，S_EFGH最大
即F是AC的中点时，截面面积最大
点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，特殊四边形的判定，二次函数的图象和性质，熟练掌握棱锥的结构特征是解答的关键．