练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2007•普陀区一模）顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点P（4，4）．过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B亮点，点M和N分别为A、B两点在抛物线准线l上的射影．准线l与x轴的交点为E．
    （1）求抛物线C的标准方程；
    （2）某学习小组在计算机动态数学软件的帮助下，得到了关于抛物线C性质的如下猜想：“直线AN和BM恒相交于原点O”，试证明该结论是正确的；
    （3）该小组孩项研究抛物线C中∠AEB的大小范围，试通过计算
    EA
    •
    EB
    的结果来给出一个你认为正确的与∠AEB有关的推论，并说明理由．
    分析：（1）由题意可可设抛物线的方程y2=2px（p＞0）由抛物线C过点P（4，4）可求p，进而可求抛物线方程
    （2）可证当 x1≠x2时，kOA=kON，说明A、O、N三点共线；当 x1=x2时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
    （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB过焦点F且F（1，0），当 x1≠x2时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程，结合方程的根与系数关系可求，当 x1=x2时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°
    解答：解：（1）由题意可可设抛物线的方程y2=2px（p＞0）
    ∵抛物线C过点P（4，4）∴p=2
    ∴y2=4x
    （2）当 x1≠x2时，kOA=kON，所以此时A、O、N三点共线；当 x1=x2时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
    （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB过焦点F且F（1，0），
    当 x1≠x2时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
    所以
    x1+x2=
    2k2+4
    k2
    x1•x2=1

    当 x1=x2时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°
    综上，可提出推论“∠AEB只能是锐角或直角”
    点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合性试题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•普陀区一模）已知a、b是非零实数，且a＞b，则下列不等式中成立的是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•普陀区一模）函数y=x+
    4x
     的单调递增区间为
    （-∞，-2）和（+2，+∞）
    （-∞，-2）和（+2，+∞）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•普陀区一模）在等差数列{an}中，a2=7，a11=a9+6，a1=
    4
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•普陀区一模）已知复数z的模为1，且复数z的实部为
    1
    3
    ，则复数z的虚部为
    ±
    2
    		2
    3
    ±
    2
    		2
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•普陀区一模）已知集合M={x||x-2|≤1}，N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=
    {3}
    {3}
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案