Question

设a为实数，设函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（Ⅰ）设t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）
（Ⅱ）求g（a）
（Ⅲ）试求满足g(a)=g(

1

a

)的所有实数a

Answer 1

分析：（I）t=

1+x

+

1-x

先求定义域，再求值域．由

1-x2

=

1

2

t2-1转化．
（II）求g（a）即求函数m(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．严格按照二次函数求最值的方法进行．
（III）要求满足g(a)=g(

1

a

)的所有实数a，则必须应用g（a）的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解．

解答：解：（I）t=

1+x

+

1-x

要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t2=2+2

1-x2

∈[2，4]，t≥0①
t的取值范围是[

2

，2].
由①得

1-x2

=

1

2

t2-1
∴m（t）=a（

1

2

t2-1）+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]

（II）由题意知g（a）即为函数m(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直线t=-

1

a

是抛物线m(t)=

1

2

at2+t-a的对称轴，
分以下几种情况讨论．
（1）当a＞0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

a

＜0知m（t）在[

2

，2].上单调递增，
∴g（a）=m（2）=a+2
（2）当a=0时，m（t）=t，t∈[

2

，2]，
∴g（a）=2．
（3）当a＜0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-

1

a

∈[0，

2

]，即a≤-

2

2

则g(a)=m(

2

)=

2

若t=-

1

a

∈(

2

，2]，即-

2

2

＜a≤-

1

2

则g(a)=m(-

1

a

)=-a-

1

2a

若t=-

1

a

∈(2，+∞)，即-

1

2

＜a＜0则g（a）=m（2）=a+2
综上有g(a)=

a+2          a＞- 1 2 -a- 1 2a - 2 2 ＜a＜ - 1 2 2 a≤- 2 2

（III）情形1：当a＜-2时

1

a

＞-

1

2

，
此时g(a)=

2

，g(

1

a

)=

1

a

+2
由2+

1

a

=

2

解得a=-1-

2

2

，与a＜-2矛盾．
情形2：当-2≤a＜-

2

，-

2

2

＜

1

a

≤-

1

2

时，
此时g(a)=

2

，g(

1

a

)=-

1

a

-

a

2

2

=-

1

a

-

a

2

解得，a=-

2

与a＜-

2

矛盾．
情形3：当-

2

≤a≤-

2

2

，-

2

≤

1

a

≤-

2

2

时，
此时g(a)=

2

=g(

1

a

)
所以-

2

≤a≤-

2

2

，
情形4：当-

2

2

＜a≤-

1

2

时，-2≤

1

a

＜-

2

，
此时g(a)=-a-

1

2a

，g(

1

a

)=

2

-a-

1

2a

=

2

，
解得a=-

2

2

，与a＞-

2

2

矛盾．
情形5：当-

1

2

＜a＜0时，

1

a

＜-2，
此时g（a）=a+2，g(

1

a

)=

2

由a+2=

2

解得a=

2

-2，与a＞-

1

2

矛盾．
情形6：当a＞0时，

1

a

＞0，
此时g（a）=a+2，g(

1

a

)=

1

a

+2
由a+2=

1

a

+2解得a=±1，由a＞0得a=1．
综上知，满足g(a)=g(

1

a

)的所有实数a为：-

2

≤a≤-

2

2

，或a=1

点评：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．