Question

已知

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，

c

=(1，0)．
（1）若

a

•

b

=

2

3

，记α-β=θ，求sin2θ-sin(

π

2

+θ)的值；
（2）若α≠

kπ

2

，β≠kπ（k∈Z），且

a

∥(

b

+

c

)，求证：tanα=tan

β

2

．

Answer 1

分析：（1）由

a

•

b

=

2

3

求得cosθ=

2

3

，把要求的式子化为1-cos²θ-cosθ，把cosθ=

2

3

代入运算求得结果．
（2）由

a

∥(

b

+

c

)，可得cosαsinβ-（1+cosβ）sinα=0，推出 tanα=

sinβ

1+cosβ

，再利用二倍角公式化简即得所证．

解答：（1）∵

a

•

b

= cosαcosβ+sinαsinβ= cos(α-β)=

2

3

，∴cosθ=

2

3

．…（3分）
∴sin2θ-sin(

π

2

+θ)=1-cos2θ-cosθ=-

1

9

．…（7分）
（2）∵

b

+

c

=(1+cosβ，sinβ)，

a

∥(

b

+

c

)，
∴cosαsinβ-（1+cosβ）sinα=0．…（9分）
又∵α≠

kπ

2

，β≠kπ（k∈Z），∴tanα=

sinβ

1+cosβ

…（12分）
=

2sin β 2 cos β 2

2cos_ β 2

=tan

β

2

．…（14分）

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量共线的性质，式子的变形是解题的关键和难点．