Question

如果关于x的不等式ax²-4|x+1|+2a＜0无实数根，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的应用

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：对二次项系数和0的大小关系分情况讨论；再在每一种情况下找到满足要求的实数a的取值范围；最后综合即可．（注意不等式ax²-4|x+1|+2a＜0无实数根即解集为空集等价于所有的函数值都大于等于0，即最小值大于等于0）．

解答： 解：当a=0时，-4|x+1|＜0的解集不是空集；这种情况舍去．
当a＜0，因为开口向下的二次函数图象是向下无限延伸的，
所以ax²-|x+1|+2a＜0的解集不可能为空集．这种情况舍去．
当a＞0，
当x≤-1时，不等式ax²-4|x+1|+2a＜0即为ax²+4x+2a+4＜0，
对称轴为x=-

2

a

＞0，
∵关于x的不等式ax²-4|x+1|+2a＜0无实数根，即解集为空集，
设f（x）=ax²-4|x+1|+2a，
∴f（x）_min=f（-1）≥0⇒a≥0，
∴a＞0；
当x＞-1时，不等式ax²-4|x+1|+2a＜0为ax²-4x+2a-4＜0，
对称轴为x=

2

a

＞0，
∵关于x的不等式ax²-4|x+1|+2a＜0的解集为空集，
∴f（x）_min=f（

2

a

）≥0⇒2a²-4a-4≥0⇒a≥1+

3

，或a≤1-

3

．
∴a≥1+

3

．
综上得：a≥1+

3

．
故答案为：[1+

3

，+∞）．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围进行分类讨论，分类解不等式，此题是一元二次不等式解法中的难题，易因为分类不清与分类有遗漏导致解题失败，解答此类题时要严谨，避免考虑不完善出错．