Question

设a＞0，f(x)=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的定义f（-x）=f（x）即可得到答案．
（2）用定义法设0＜x₁＜x₂，代入作差可得．

解答：解：（1）依题意，对一切x∈R，有f（-x）=f（x），即

1

aex

+aex=

ex

a

+

a

ex

∴(a-

1

a

)(ex-

1

ex

)=0对一切x∈R成立，则a-

1

a

=0，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1．
（2）设0＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+

1

ex1

-

1

ex2

=(ex2-ex1)(

1

ex1+x2

-1)=ex1(ex2-x1-1)

1-ex2+x1

ex2+x1

，
由x₁＞0，x₂＞0，x₂-x₁＞0，
得x1+x2＞0，ex2-x1-1＞0，
得1-ex2+x1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．

点评：本题主要考查偶函数的定义和增函数的判断方法．