Question

10．已知函数f（x）=cos²（x-$\frac{π}{6}$）-sin²x，其中x∈R．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知α为第二象限角，且f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\frac{1+cos2α-sin2α}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦加法定理、降阶公式、三函数恒等式、二倍角公式推导出f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由此能求出函数f（x）的值域．
（2）由已知$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而sinα=$\frac{2}{3}$，cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，进而求出cos2α，sin2α，sin（$α-\frac{π}{4}$）的值，由此能求出$\frac{1+cos2α-sin2α}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）}$的值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²（x-$\frac{π}{6}$）-sin²x
=（cosxcos$\frac{π}{6}$+sinxsin$\frac{π}{6}$）²-sin²x
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}cosx+\frac{1}{2}sinx$）²-sin²x
=$\frac{3}{4}co{s}^{2}x+\frac{1}{4}si{m}^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}sinxcosx$-sin²x
=$\frac{3}{4}（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）+\frac{\sqrt{3}}{2}sinxcosx$
=$\frac{3}{4}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（2）∵α为第二象限角，且f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得sinα=$\frac{2}{3}$，∴cosα=-$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cos2α=1-2sin²α=1-2×$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{9}$，sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{2}{3}×（-\frac{\sqrt{5}}{3}）$=-$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
sin（$α-\frac{π}{4}$）=sin$αcos\frac{π}{4}$-cos$αsin\frac{π}{4}$=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{10}}{6}$，
∴$\frac{1+cos2α-sin2α}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）}$=$\frac{1+\frac{1}{9}+\frac{4\sqrt{5}}{9}}{\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{10}}{6}}$=$\frac{10+4\sqrt{5}}{9}×\frac{3}{2+\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦加法定理、降阶公式、三函数恒等式、二倍角公式、同角三角函数关系式的合理运用．