Question

16．已知函数f（x）=a^x-x²（a＞0且a≠1）有两个正数零点，则实数a的取值范围为（1，${e}^{\frac{2}{e}}$）．

Answer 1

分析 作函数y=a^x与y=x²的图象，从而可得a＞1，再假设函数f（x）=a^x-x²（a＞0且a≠1）至多有一个正数零点，从而可得a≥${e}^{\frac{2}{e}}$；从而解得．

解答 解：作函数y=a^x与y=x²的图象如下，

结合图象可知，a＞1；
假设函数f（x）=a^x-x²（a＞0且a≠1）至多有一个正数零点，
则a^x≥x²恒成立，
即xlna≥2lnx恒成立；
即lna≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立；
令F（x）=$\frac{2lnx}{x}$，则F′（x）=2•$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；
故F（x）_max=F（e）=$\frac{2}{e}$；
故lna≥$\frac{2}{e}$；
故a≥${e}^{\frac{2}{e}}$；
故使函数f（x）=a^x-x²（a＞0且a≠1）有两个正数零点，
则实数a的取值范围为（1，${e}^{\frac{2}{e}}$）；
故答案为：（1，${e}^{\frac{2}{e}}$）．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于难题．