Question

圆心在抛物线x²=2y上，与直线2x+2y+3=0相切的圆中，求面积最小的圆的方程．

Answer 1

∵圆心在抛物线x²=2y上，∴可设圆心为(a，

1

2

a2)，
又∵直线2x+2y+3=0与圆相切，
∴圆心到直线2x+2y+3=0的距离等于半径r，
即r=

|2a+a2+3|

22+22

=

|a2+2a+3|

2 2

=

|(a+1)2+2|

2 2

≥

2

2 2

=

2

2

，
可得当a=-1时，半径r最小，
∴所有的圆中，面积最小圆的半径r=

2

2

，此时圆的圆心坐标为(-1，

1

2

)．
因此，所求圆的方程为(x+1)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．