Question

某玩具生产厂家接到一生产伦敦奥运吉祥物的生产订单，据以往数据分析，若生产数量为x万件，则可获利万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数，且m∈（0，1）．
（1）若美元贬值指数，为使得企业生产获利随x的增加而增长，该企业生产数量应在什么范围？
（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x万件产品需增加生产成本万美元，已知该企业生产能力为x∈[10，20]，试问美元贬值指数m在什么范围内取值才能使得该企业不亏损？

Answer 1

解：（1）若美元贬值指数，则企业获得利润是f（x）=-lnx+-0.1x（x＞0）
∴f′（x）=-+-0.1=
令f′（x）＞0，可得x²-0.5x-5＞0，∴x＜-2或x＞2.5，
∵x＞0，∴x＞2.5
即x＞2.5时，企业生产获利随x的增加而增长；
（2）由题意，企业生产部出现亏损，则
当x∈[10，20]时，都有≥0
∴x∈[4，10]时，+m≤，
令g（x）=，则g′（x）=
令h（x）=x²+10lnx-10，则h′（x）=2x+＞0恒成立，
∴h（x）在[10，20]上单调递增
∴h（10）≤h（x）≤h（20）
∵h（10）＞0，∴h（x）＞0恒成立
∴g′（x）＞0
∴g（x）在[10，20]上单调递增，
∴g（x）_min=
∴m≤
∴m的取值范围是（0，]．
分析：（1）先确定利润函数，再求导，利用导数大于0，即可求得结论；
（2）企业生产部出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有≥0，分离参数，再求最值，即可确定m的取值范围．
点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导是关键．