Question

（2013•黄冈模拟）数列{a_n}是公比为

1

2

的等比数列，且1-a₂是a₁与1+a₃的等比中项，前n项和为S_n；数列{b_n}是等差数列，b₁=8，其前n项和T_n满足T_n=nλ•b_n+1（λ为常数，且λ≠1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及λ的值；
（Ⅱ）比较

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

与

1

2

S_n的大小．

Answer 1

分析：（I）根据1-a₂是a₁与1+a₃的等比中项，建立关于a₁的方程，解出a₁=

1

2

，从而得出数列{a_n}的通项公式．再由T_n=nλ•b_n+1分别取n=1、2，建立关于{b_n}的公差d与λ的方程组，解之即可得到实数λ的值；
（II）由（I）的结论，利用等比数列的求和公式算出S_n的表达式，从而得到

1

2

S_n=

1

2

-

1

2n+1

≥

1

4

．由等差数列的通项与求和公式算出{b_n}的前n项和T_n=4n²+4n，利用裂项求和的方法算出

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

，再将两式加以比较，即可得到所求的大小关系．

解答：解：（Ⅰ）由题意，可得（1-a₂）²=a₁（1+a₃），
即（1-

1

2

a₁）²=a₁（1+

1

4

a₁），解之得a₁=

1

2

，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=

1

2n

，
又∵T_n=nλ•b_n+1，∴分别取n=1、2，可得

T1=λb2 T2=2λb3

，
∵数列{b_n}是等差数列，b₁=8，
∴设{b_n}的公差为d，可得

8=λ(8+d) 16+d=2λ(8+2d)

，解之得

λ= 1 2 d=8

或

λ=1 d=0

，
∵λ为常数，且λ≠1，∴λ=

1

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，
∴

1

2

S_n=

1

2

-

1

2n+1

≥

1

4

-------------①．
又∵等差数列{b_n}的首项b₁=8，公差d=8，
∴{b_n}的前n项和T_n=nb₁+

n(n-1)

2

×8=4n²+4n，
可得

1

Tn

=

1

4n2+4n

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）
∴

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

------②
根据①②可知：

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

≥

1

2

S_n．

点评：本题给出等差数列与等比数列满足的条件，求它们的通项公式与前n项和公式，并依此比较两个不等式的大小．着重考查了等差等比数列的通项与求和、数列求和的一般方法与不等式比较大小等知识，属于中档题．