Question

过点M（4，2）作X轴的平行线被抛物线C：x²=2py（p＞0）截得的弦长为（I ）求抛物线C的方程；（II）过拋物线C上两点A，B分别作抛物线C的切线l₁，l₂（i）若l₁，l₂交点M，求直线AB的方（ii）若直线AB经过点M，记l₁，l₂的交点为N，当时，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（I ）直接把条件转化为点（2，）在抛物线x²=2py上，代入抛物线方程即可求出p，进而得到抛物线C的方程；
（II）先把直线AB的方程y=kx+b与抛物线方程联立求出A，B两点坐标与k，b的关系，再求出抛物线方程的导函数，进而求出在A，B两点处的切线方程以及交点坐标．
    （i）直接把所求交点坐标与点M（4，2）相结合即可求出k，b的值，进而求出直线AB的方程；
     （ii）先利用直线AB经过点M求得4k+b=2，代入可得l₁，l₂的交点N的坐标；利用弦长公式求出AB的长，再结合点到直线的距离公式求出点N到直线AB的距离，把求出结论代入，即可求出k，进而得到点N的坐标．
解答：解：（I ）由已知得点（2，）在抛物线x²=2py上，
代入得8=4p，故p=2，
所以x²=4y．
（II）设A（x₁，），B（x₂，），直线AB方程为y=kx+b，
由得，
则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4b．
又y=，求导得y^′=．
故抛物线在A，B两点处的切线斜率分别为，．
故在A，B两点处的切线方程为l₁：y=x-和l_2：：y=x-，
于是l₁与l₂的交点坐标为（，），即为（2k，-b）．
（i）∵l₁，l₂交点M
∴⇒，故直线AB的方程为2x-y-2=0．
（ii）由题意得M（4，2）在直线AB上，故4k+b=2．
且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8．
故l₁与l₂交点N坐标为（2k，4k-2）．
又|AB|=|x₁-x₂=4|，
点N到直线AB的距离d=．
故S_△NAB=|AB|•d=4
故4=28，
即=，得k=-1或5，
故点N的坐标为（-2，-6）或（10，18）．
点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．本题第二问涉及到弦长公式的运用以及点到直线的距离计算，是对基础知识的考查，提醒我们注意知识的熟练掌握和运用．