Question

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角C为钝角，且cos（A-C）+cosB=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，c=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{10}$，D为AC边的中点，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理和诱导公式求得cosB=-cos（A+C），然后由和差化积公式得到sinAsinC=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$；结合正弦定理来求A的值即可；
（2）欲求线段BD的长度，需要由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$求得b的长度，在该等式中，sinB是未知数，所以由sinB=sin（A+C）来求sinB的值即可．

解答 解：（1）由B=π-（A+C），得
cosB=-cos（A+C），
所以cos（A-C）+cosB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
所以sinAsinC=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，①
由c=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a及正弦定理得到：sinC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$sinA，②
由①②得，sin²A=$\frac{1}{2}$，
于是sinA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），或sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又角C为钝角，
所以A=$\frac{π}{4}$；
（2）由（1）知，sinC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$sinA=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
因为角C为钝角，
所以cosC=-$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{9}{10}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
由正弦定理知，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$⇒b=2⇒CD=1，
在△DBC中，BD²=BC²+DC²-2BC•DCcosC=13，
故BD=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦函数．考查转化的思想，考查运算能力，属于基础题．