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【题目】已知函数,且).

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)求函数上的最大值.

【答案】(Ⅰ)的单调增区间为,单调减区间为.(Ⅱ)当时, ;当时, .

【解析】试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得上单调递减,在上单调递增,由此可知.利用导数和对分类讨论求得函数在不同取值时的最大值.

试题解析】

(Ⅰ)

,则.

,∴上单调递增,

从而得上单调递增,又∵

∴当时, ,当时,

因此, 的单调增区间为,单调减区间为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得上单调递减,在上单调递增,

由此可知.

.

.

∵当时, ,∴上单调递增.

又∵,∴当时, ;当时, .

①当时, ,即,这时,

②当时, ,即,这时, .

综上, 上的最大值为:当时,

时, .

[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.

型】解答
束】
22

【题目】选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,圆的普通方程为. 在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为 .

(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程;

( Ⅱ ) 设直线轴和轴的交点分别为为圆上的任意一点,求的取值范围.

【答案】(1);.

(2).

【解析】试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得两点的坐标, 设点,代入向量,利用三角函数的值域来求得取值范围.

试题解析】

(Ⅰ)圆的参数方程为为参数).

直线的直角坐标方程为.

(Ⅱ)由直线的方程可得点,点.

设点,则 .

.

由(Ⅰ)知,则 .

因为,所以.

练习册系列答案
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程

已知在极坐标系和直角坐标系中,极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合,直线为参数),圆.

(Ⅰ)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;

(Ⅱ)已知是直线上一点,是圆上一点,求的最小值.

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【题目】在国内汽车市场中,国产SUV出现了持续不退的销售热潮,2018年国产SUV销量排行榜完整版已经出炉,某品牌车型以惊人的销量成绩击退了所有虎视眈眈的对手,再次霸气登顶,下面是该品牌国产SUV分别在2017年与2018711月份的销售量对比表

时间

7

8

9

10

11

2017年(单位:万辆)

2.8

3.9

3.5

4.4

5.4

2018年(单位:万辆)

3.8

3.9

4.5

4.9

5.4

(Ⅰ)若从7月至11月中任选两个月份,求至少有一个月份这两年该国产品牌SUV销量相同的概率。

(Ⅱ)分别求这两年7月至11月的销售数据的平均数,并直接判断哪年的销售量比较稳定。

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【题目】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d≈ .人们还用过一些类似的近似公式.根据π=3.14159…..判断,下列近似公式中最精确的一个是(
A.d≈
B.d≈
C.d≈
D.d≈

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【题目】如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2所示),

(1)当BD的长为多少时,三棱锥A﹣BCD的体积最大;
(2)当三棱锥A﹣BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小.

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【题目】(I)已知函数f(x)=rx﹣xr+(1﹣r)(x>0),其中r为有理数,且0<r<1.
(1)求f(x)的最小值;
(2)试用(1)的结果证明如下命题:设a1≥0,a2≥0,b1 , b2为正有理数,若b1+b2=1,则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当α为正有理数时,有求导公式(xαr=αxα1

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【题目】设函数的解析式满足

1)求函数的解析式;

2)若在区间(1+∞)单调递增,求的取值范围(只需写出范围,不用说明理由)。

3)当时,记函数,求函数gx)在区间上的值域.

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【题目】设函数f(x)=ax∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;

(3)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.

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【题目】函数在区间上的最小值记为

1)当时,求函数在区间上的值域;

2)求的函数表达式;

3)求的最大值.

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