Question

任给实数a，b定义a?b=

a×b，a×b≥0 a b ，a×b＜0

  设函数f（x）=lnx?x，若{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₅=1，则f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₇）+f（a₈）+f（a）=a₁，则a₁=（　　）

• A、e²
• B、e
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：设该数列的前8项分别为q^-4，q^-3，q^-2，q^-1，1，q，q²，q³，分q＞1时和0＜q＜1时两种情况讨论满足条件的q值，进而可得答案．

解答：解：∵a⊕b=

a×b，a×b≥0 a b ，a×b＜0

  
∴f（x）=lnx⊕x=

x•lnx，x≥1 lnx x ，x＜1

故f（x）+f（

1

x

）=x•lnx-x•lnx=0
设数列{a_n}的前8项分别为q^-4，q^-3，q^-2，q^-1，1，q，q²，q³，
则f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₇）+f（a₈）=f（a₁）=a₁，…①
当q＞1时，a₁=q^-4＜1，方程①可化为：-q⁴lnq⁴=q^-4，方程两边异号，故无解
当0＜q＜1时，a₁=q^-4＞1，方程①可化为：q⁴lnq⁴=q^-4，解得a₁=q^-4=e
综上a₁=e
故选：B

点评：本题考查新定义，涉及函数的求值以及数列的求和，属中档题．