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13.抛物线C:y=x2在点P(x0,y0)处的切线l分别交x轴、y轴于不同的两点A、B.
(1)如果|AB|=$\sqrt{17}$,求点P的坐标:
(2)圆心E在y轴上的圆与直线l相切于点P,当|PE|=|PA|时,求圆的方程.

分析 (1)由导数的几何意义求出切线l的方程,从而得到A、B坐标,由|AB|=$\sqrt{17}$,能求出点P的坐标.
(2)设圆心E的坐标为(0,b),由题知kPE•kl=-1,从而得到${y}_{0}-b=-\frac{1}{2}$,由|PE|=|PA|,得到$4{{y}_{0}}^{2}-3{y}_{0}-1=0$,由此能求出圆E的方程.

解答 (本题满分14分)
解:(1)由抛物线C:y=x2,得y′=2x,∴${y}^{'}{|}_{x={x}_{0}}$=2x0
切线l的方程为y-y0=2x0(x-x0),其中${y}_{0}={{x}_{0}}^{2}$,
令x=0得y=-${{x}_{0}}^{2}$,令y=0,得x=$\frac{{x}_{0}}{2}$,
所以$A(\frac{{x}_{0}}{2},0)$,B(0,-${{x}_{0}}^{2}$),
∵|AB|=$\sqrt{17}$,∴$A{B}^{2}=\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{x}_{0}}^{4}=17$,
解得x0=±2,点P的坐标为(-2,4)或(2,4).
(2)设圆心E的坐标为(0,b),由题知kPE•kl=-1,即$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}•2{x}_{0}=-1$,
所以${y}_{0}-b=-\frac{1}{2}$,
由|PE|=|PA|,得${{x}_{0}}^{2}+({y}_{0}-b)^{2}$=$(\frac{{x}_{0}}{2})^{2}+{{y}_{0}}^{2}$,整理得$4{{y}_{0}}^{2}-3{y}_{0}-1=0$,
解得y0=1或${y}_{0}=-\frac{1}{4}$(舍去),
所以b=$\frac{3}{2}$,圆E的圆心E的坐标为(0,$\frac{3}{2}$),
半径r=|PE|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+({y}_{0}-b)^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,圆E的方程为${x}^{2}+(y-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{4}$.

点评 本题考查点的坐标的求法,考查圆的方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数的几何意义和圆的性质的合理运用.

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