Question

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0又f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的值域；
（4）若?x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0，
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
又f（x）为奇函数，∴f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）为R上的减函数；
（3）∵f（x）为R上的减函数，
∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），
f（3）=3f（1）=-2×3=-6，∴f（-3）=-f（3）=-6，
故f（x）在[-3，3]上最大值为6，最小值为-6．
故f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-6，6]．
（3）f（x）为奇函数，整理原式得f（ax²）+2f（-x）＜f（x）+f（-2），
可得f（ax²-2x）＜f（x-2），而f（x）在R上是减函数，
所以ax²-2x＞x-2即ax²-3x+2＞0恒成立，
①当a=0时不成立，
②当a≠0时，有a＞0且△＜0，即

a＞0 9-8a＜0

，解得a＞

9

8

．
故a的取值范围为（

9

8

，+∞）．