已知双曲线的一个焦点为(,0),一条渐近线方程为,其中是以4为首项的正数数列,记. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若数列的前n项的和为Sn,求; (Ⅲ)若不等式+对一切自然数n恒成立,求实数x的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

已知双曲线的一个焦点为(,0),一条渐近线方程为,其中

是以4为首项的正数数列,记.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)若数列的前n项的和为S_n,求;

(Ⅲ)若不等式+(a>0,且a≠1)对一切自然数n恒成立,求实数x的取值范围.

【答案】

解: (Ⅰ)∵双曲线方程为的一个焦点为(,0),∴.

又∵一条渐近线方程为,∴.∴=2.

∵a₁=4,∴是以4为首项的等比数列,a_n=2ⁿ⁺¹.∴c_n=3·2ⁿ.

(Ⅱ) S_n=c₁+c₂+…+c_n=3(2+2²+…+2ⁿ)=6(2ⁿ－1).

∵a_nc_n=3·2²ⁿ⁺¹,

∴

(Ⅲ)T=,①

T=,②

①－②得T=,

故原不等式等价于 (n∈N^*)恒成立,即恒成立,

∴≥0恒成立,

故(ⅰ)当a>1时,x≥1.(ⅱ)当0<a<1时,0<x≤1.

【解析】略

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