Question

14．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），已知点P在直线BC₁上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②直线AP与平面ACD₁所成的角的大小不变；
③二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是直线A₁D₁．
其中真命题的编号是①③④（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析 ①：点P是直线BC₁的动点，△AD₁P的面积是定值，而点C到平面AD₁P的距离也是定值，故得到结论；
②：可以从向量的角度进行判断；
③：平面PD₁A平面ACD₁的法向量的夹角是不变的，得到结论．
④：由M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，M点的轨迹是线段DC₁在空间的垂直平分线与面A₁B₁C₁D₁的交点．

解答 解：对于①：∵点P是直线BC₁的动点，∴△AD₁P的面积是定值，∵点C到平面AD₁P的距离不变，∴①正确；
对于②：∵随着P点的移动，$\overrightarrow{AP}$与平面ACD₁的法向量的夹角也是变化的，∴②错误；
对于③：∵平面PD₁A平面ACD₁的法向量的夹角是不变的，∴③正确；
对于④：∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，∴M点的轨迹是线段DC₁在空间的垂直平分线与面A₁B₁C₁D₁的交点，故其轨迹是直线A₁D₁，故④正确．
故答案为，①③④

点评 本题考查了空间点、线、面的位置关系，空间轨迹问题，属于中档题．