Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₃·a₄=117,a₂+a₅=22.

（1）求通项a_n;

(2)若数列{b_n}满足b_n=,是否存在非零实数c使得{b_n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）a_n=1+(n-1)×4=4n-3（2）c=-

解析:

（1）由等差数列的性质得，a₂+a₅=a₃+a₄=22,所以a₃、a₄是关于x的方程x²-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a₃=9,a₄=13.

易知a₁=1,d=4,故通项为a_n=1+(n-1)×4=4n-3.

(2)由(1)知S_n==2n²-n,

所以b_n==.

方法一  所以b₁=,b₂=,b₃=(c≠0).

令2b₂=b₁+b₃,解得c=-.

当c=-时，b_n==2n,

当n≥2时，b_n-b_n-1=2.

故当c=-时，数列{b_n}为等差数列.

方法二  当n≥2时，

b_n-b_n-1=

=,

欲使{b_n}为等差数列，

只需4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1) (c≠0)

解得c=-.